설계 근거#

현재 구현이 왜 그 형태이고 어떤 대안이 왜 채택되지 않았는지 정리한 것.

보간 안전장치 — 필드별·크기 기준#

왜 필드를 묶어 판정하면 안 되는가#

여러 필드를 하나의 결합 노름으로 판정하면 스케일이 큰 필드가 노름을 좌우한다. building 데이터에서는 pressure 가 그 역할을 해서, velocity 의 경계 overshoot 가 임계값에 한참 못 미쳐 그대로 통과했다.

RBF 최소자승 해는 원래 필드별로 독립이다(여러 필드를 쌓는 것은 GPU 배칭일 뿐이다). 판정만 필드를 묶으면 해의 구조와 어긋나고, 한 필드에서 이상값이 나왔을 때 나머지 필드까지 함께 되돌리게 된다.

왜 범위(range)가 아니라 크기(magnitude) 기준인가#

스칼라 판정을 이웃값의 [lo - range, hi + range] 로 잡으면 두 방향 모두 실패한다.

이웃이 균일한 매끄러운 영역에서는 range = hi - lo 가 0 으로 붕괴해 허용 구간이 한 점이 된다. 보간값이 전부 최근접값으로 잘려 pressure·k 가 계단 모양이 된다.
반대로 값에 비해 산포가 작은 영역(예: 이웃이 999~1001, 값이 1000 근처)에서는 구간이 좁아 완만한 외삽까지 잘린다.

크기 기준 $∣ 값 ∣ \times 2$ 는 0 에 고정돼 있어 이웃이 균일해도 구간이 무너지지 않고, 이웃 최댓값이 클수록 허용 구간도 함께 넓어진다. velocity 는 원래 벡터 크기로 판정하므로 이 문제가 없다.

이 안전장치는 촘촘하게 거르지 않도록 설계했다. 국소 RBF 가 대부분의 점에서 잘 맞는다고 보고, 극단 스파이크만 걸러내는 것이 목적이다. 자주 작동할 장치가 아니라서 임계값도 이웃 최댓값의 2배로 넉넉하게 정했다. pressure 와 temperature 를 구분하지 않고 둘 다 스칼라로만 취급하는 것도 같은 이유다.

효과#

수정 전후 비교는 실측 결과 참고.

왜 격자 단위로 푸는가#

RBF 계는 좌표를 격자 단위(화소 간격 1)로 받아야 한다. 미터 단위로 풀면 계산이 깨진다.

이유는 이렇다. 미터로 두면 이웃 간격이 0.02 m 정도라, thin-plate spline 커널 $r^{2} ln r$ 의 크기가 $O (1 0^{- 3})$ 가 된다. 반면 같은 계에 들어가는 다항식 블록의 상수 열은 $O (1)$ 이다. 안장점 계의 두 블록이 세 자리나 차이 나면 LU 분해의 피벗이 무너진다.

이때 최소자승 풀이로 우회하면 더 나쁘다 — GPU 최소자승은 full-rank 를 가정하므로 rank 가 부족한 계에서 경고 없이 의미 없는 값을 돌려준다. 그 값이 그대로 저장되면 물리적으로 불가능한 결과(절대영도 아래 온도 등)가 데이터에 남는다. 좌표를 격자 단위로 넘기면 두 블록의 스케일이 맞아 일반 선형 풀이가 안정적으로 동작한다.

fluid 영역 정의#

사양: 전처리 — fluid 영역

building 계열: 단면 래스터가 성립하는 이유#

외부 유동이라 해석 영역이 풍동 상자이고 obj 는 그 안의 장애물이다(obj ⊂ 해석 영역). 따라서 "solid = obj 내부"가 유체의 여집합과 정확히 일치한다. 출력 격자가 CFD 해석 영역 안에 완전히 들어가므로 건물 밖의 격자점이 데이터 부족일 일도 없다.

단면 다각형화는 빈 면(void)까지 돌려주므로 전부 solid 로 칠하면 닫힌 안뜰이 건물로 읽힌다. 홀짝 광선 판정으로 실체 면만 남긴다. 전체 obj 464개 중 실제로 달라지는 것은 7개뿐이고, 모두 CFD 가 실제로 mesh 한 안뜰이다. 이 판정으로 fluid 화소가 solid 로 바뀌는 일은 없다. 잘못 solid 로 칠했던 화소를 되살리기만 한다.

마스크는 형상과 z 좌표에만 의존하고 풍속과 무관해서, 한 형상의 여러 풍속 케이스가 마스크 하나를 공유한다.

indoor 계열: 왜 다른 방법이 필요한가#

포함 관계가 반대다. obj 가 벽 두께를 가진 방 형상이라 유체를 바깥에서 감싼다(obj ⊃ 해석 영역). building 방식을 그대로 쓰면 벽 띠가 CFD 데이터 없는 fluid 로 표시된다.

그룹별로 래스터화하는 이유. mesh 전체를 한 번에 자르면, 닫힌 방 단면이 방 내부 전체를 면 하나로 내놓는다. 그 면을 solid 로 칠하는 순간 높은 z 슬라이스가 통째로 사라진다.

홀짝 판정을 적용하면 닫힌 단면 문제는 해결되지만, 설비가 벽에 붙어 단면이 고리 없는 열린 폴리라인이 되는 슬라이스는 그대로 남는다.

obj 그룹을 따로 자르면 이 문제가 없어진다. 모든 그룹이 단순한 닫힌 입체가 되기 때문이다. 그러고 나서 면적이 지나치게 큰 면, 즉 방 내부에 해당하는 면만 면적을 기준으로 걸러내면 된다 — 가구는 커야 1.3 m², 방은 12.03 m² 다.

점군 bounding box 로 한 번 더 자르는 이유. obj 외곽과 CFD 점군 경계 사이에 5~10 화소 폭의 띠가 생긴다. 그 띠는 obj 기준으로는 유체지만 CFD 데이터가 없고, RBF 가 그쪽으로 외삽하면 물리적으로 불가능한 값이 나온다. 방이 직육면체라 외곽 경계가 정확히 bounding box 이므로 직선으로 잘라낼 수 있다.

검토했지만 채택하지 않은 대안은 이렇다.

대안	기각 이유
점군 자체로 fluid 판정 (K 최근접 이웃의 bounding box 안인가)	임계값이 필요 없고 solid 도 옳게 배제하지만, CFD 절점 간격이 격자보다 촘촘해 벽 인접 화소가 절점 배치에 따라 침식된다. 안티에일리어싱 준위가 급감하고 부분 커버리지 화소가 크게 늘어 평가 이미지에서 톱니 경계로 보인다
최근접 거리로 자르기	방 가운데 CFD mesh 가 성겨서 내부의 최근접 거리가 벽 띠와 겹친다. 띠를 없앨 만큼 임계값을 올리면 방 내부에도 구멍이 생긴다
그리기 전용 마스크를 따로 유지	풀리지 않은 띠를 유효한 영역처럼 칠하게 된다

보간에 쓸 이웃을 고르는 방식. 유클리드 거리로 가까운 점이 곧 "둘러싼 이웃"은 아니다. 최근접 CFD 점의 약 10% 는 고체 건너편(책상판, 파티션, 모니터)에 있고, 그쪽 흐름은 물리적으로 끊겨 있다. 이런 점을 한 보간계에 같이 넣으면 고체를 사이에 두고 끊겨 있어야 할 장이 하나로 이어져 버린다.

그래서 후보를 넉넉히 뽑은 뒤 선분–mesh 광선 판정으로 가려진 점을 버리고 보이는 점만 쓴다. 배치 풀이가 이웃 개수를 고정으로 요구하기 때문에, 모자라면 최근접값으로 채운다. 복셀 근사로 대체할 수는 없다. 파티션과 창이 두께 0 인 면이라 복셀에 잡히지 않는다.

마스크가 두 번 적용되는 이유#

indoor 는 마스크가 서로 다른 공간에서 두 번 곱해진다.

단계	공간	목적
전처리	절대 물리값 (m/s, °C)	형상 내부(RBF 가 의미 없는 값을 외삽하는 곳)를 양자화 범위 밖으로 밀어내지 않게 0 으로 만든다
Collator	`nondim` ΔT	h5 에 존재하지 않는 pad 영역을 0 으로 만든다

둘의 목적이 달라서 하나로 합칠 수 없다. 두 공간의 원점이 다르기 때문에(0 °C 대 $T_{ref}$ ) 경계 화소의 inverse transform 값이 CFD 값도 저장값도 아니게 되는 결과가 따라온다.

예측과 정답이 같은 경로를 지나므로 metric 은 공정하고 학습과 추론도 일치한다. 영향 범위는 전체 화소의 0.05% 미만이다. 이중 감쇠를 없애려면 저장 형식이나 마스크 정의를 바꿔야 하고 그러면 정답 자체가 달라져 재학습이 필요하다.

building 계열에는 두 번째 마스킹이 없다 — pad 가 아니라 창 잘라내기를 쓰고 온도 필드도 없다.

WSS 정규화#

사양: nondim

유속 지수#

데이터로 확인한 값. 같은 형상에서 유속만 바꾼 조합의 면적가중 로그-로그 기울기는 전체 평균 1.43, 형상별로 1.33~1.58 이다. 동압 기준인 2.0 은 기각되고 층류 영역임이 확인된다. 1 에 가까운 값이 섞이는 형상도 있다. 그런 곳에는 완전발달 관유동 성분이 함께 있다고 본다.

면 단위로 보면 0.34~2.42 로 넓게 퍼지지만 이는 별개의 유동 상태가 아니다. 0 근처(이동하는 separation, stagnation line)에서는 $τ_{w} \approx C ∣ U - U_{0} ∣$ 이므로 국소 기울기 $U / (U - U_{0})$ 가 발산한다.

측정값이 있는데도 유도값 3/2 를 쓰는 이유는 두 가지다. 하나는 fold 를 어떻게 나누든 값이 흔들리지 않는다는 것, 다른 하나는 면적이 작은 삼각형에 끌려가는 회귀를 피할 수 있다는 것이다.

둘 사이 차이도 크지 않다. $p = 1.5$ 와 측정값 1.43 은 유속 2~12 구간의 끝점에서 12% 벌어진다. 동압 기준이었다면 같은 자리에서 64% 였다.

합성 지수를 쓰지 않는 이유. 합성식은 없애 주는 가정보다 새로 들여오는 가정이 더 많다.

입구 영역 관유동 scale 에서 두 극한을 합성하면 $τ = A U + B U^{3/2}$ 가 되고, 유효 지수는 1 과 3/2 사이에 놓인다. 두 극한 자체는 연속체 scale 에서 유도된다. 문제는 둘을 잇는 보간이 유일하지 않다는 점이다.

쓰려고 해도 필요한 값이 없다. 물리 유속과 동점성계수, 국소 수력직경, 유하 방향 원점, inlet speed 분포를 알아야 하는데 비강에는 전역적으로 정의되는 그런 값이 없다. 수축·굴곡·분기·separation·재부착이 속도 분포 이력을 계속 초기화하고, 흡기와 호기에서는 방향까지 뒤집힌다.

분포를 요약하는 통계#

변환의 크기 계수는 통계가 아니라 해석 설정값에서 온다 (nondim — 크기 계수). 그래도 WSS 분포를 대표값 하나로 줄여야 하는 자리는 남는다 — 형상별 잔여 scale (nondim Remark 7) 과 꼬리 통계가 그것이다. 그 자리에는 면적가중 중앙값을 쓴다. 중앙값 대신 검토한 것들.

대안	기각 이유
가중 기하 중앙값 (스칼라)	$t arg min \int ∣ x - t ∣ d F$ 는 가중 중앙값 그 자체다. 다른 추정자가 아니다
가중 Hodges–Lehmann	오염 내성이 약 29.3% 로 50% 에 못 미친다. 쌍 평균 기반이라 비대칭이고 0 이 많은 WSS 분포에서 상단 꼬리를 과대 가중한다
절단·윈저화 적분	내성이 절단 비율에 묶이고 그 비율을 정할 근거가 없다(아티팩트 면적의 상한을 모른다). 대칭 절단은 물리적으로 의미 있는 저-WSS 정체 영역과 고-WSS 국소 집중을 함께 없앤다
기하평균·로그평균	0 에서 정의되지 않고 상단 오염 내성이 0 이다. 양수부에서는 중앙값과 동치이며, 작은 값을 더해 회피하면 차원 scale 을 주입하고 0 의 위치를 옮긴다
케이스별 중앙값의 중앙값	면적 기준 25% 오염에서 무너진다(전체 중앙값은 50%). 추정 대상 자체가 다르다 — "중앙 케이스의 중앙값"이 된다

중앙값은 다음 다섯 가지를 동시에 만족하는 유일한 선택이다. 확률질량의 50% 가 오염돼도 견디고, 따로 정해야 할 조정 상수가 없고, 면을 더 잘게 나눠도 값이 그대로이고, 0 이 섞여 있어도 정의되고, 대표 벽점이라는 해석이 성립한다. 고전적인 표본 효율 비교는 여기에 적용되지 않는다 — mesh 면은 독립 관측이 아니라 결정론적 적분 요소다.

길이 scale 과 국소 속도#

형상별 길이 보정 항을 넣지 않는다. $τ_{w} \propto L^{- 1/2} U^{3/2}$ 이므로, 길이를 보정하려면 $τ_{w} L / U^{3/2}$ 처럼 곱해야 한다(나누는 것이 아니다).

그런데 효과가 크지 않다. 10개 형상의 길이 변동계수가 5.5% 라 선형화하면 2.75% 정도다. 게다가 형상 간 차이가 크기 차이가 아니라 해부학적 차이라서, 애초에 닮음 관계로 묶이지도 않는다. 그래서 길이는 전역 상수로 크기 계수 $γ$ 에 흡수시킨다. 이것은 의도적인 근사이지, WSS 에 길이 scale 이 없다는 말이 아니다.

형상 간 크기 변동은 길이 축이 아니라 부피/단면적 축에 있다 — 같은 10개 형상의 cavity 부피는 28.5~60.3 cm³ 로 ×2.1 변한다. 이 축은 flow-rate similarity 항 $V^{7/6}$ 으로 보정한다 (nondim — 부피 지수).

전역 유속 라벨 대신 국소 외부 속도를 쓰지 않는다. 경계층 이론이 쓰는 것은 국소 외부 속도다. 전역 라벨로 대신하려면 국소 속도가 라벨의 진폭에만 비례해야 한다. 그런데 Re 에 따라 통로별 유량 배분이나 separation 위치가 바뀌면 그 전제가 성립하지 않는다.

그래도 국소 대리값을 쓰지 않는다. 비강에서는 경계와 원점, 방향의 정의가 하나로 정해지지 않고, 벽에서 첫 절점의 속도는 mesh 해상도를 타기 때문이다. 지금 확보된 정보 안에서는 전역 $∣ s ∣$ 가 최선이다.

$∣ s ∣$ 를 쓰는 것이 흡기와 호기의 공간 분포가 같다는 주장은 아니다. 진폭에만 크기를 쓰고, 방향에 따른 공간 구조 차이는 $τ ~ (x)$ 안에 남는다.

metric 설계#

사양: Metric

왜 샘플 단위를 물리적으로 고정하는가#

비율로 정의된 지표는 배치 단위로 한 번에 계산할 수 없다. 샘플마다 구한 비율을 평균한 값과, 여러 샘플의 분자·분모를 먼저 합친 뒤 계산한 비율이 일반적으로 다르기 때문이다.

집계는 샘플 수로 가중 평균한다. 그런데 배치 안에서 전체를 한 덩어리로 모아 계산하면, 값이 "샘플별 비율의 평균"과 "전체를 합쳐서 낸 비율" 사이 어딘가에 놓이고 그 위치가 배치 크기에 따라 달라진다. 실제로 배치 1 과 12 사이에 28% 차이가 났다. 그래서 샘플을 물리적 단위로 고정해 두어야 지표 정의가 흔들리지 않는다.

이 때문에 compute_submetric 은 마스크 인자를 받지 않고 샘플 하나만 받는다. 호출자가 샘플마다 잘라 부르므로 마스크 곱셈, 차원 축약 인자, 확장 연산, 수동 채널 보정이 모두 필요 없다.

왜 `rel_l2%` 를 품질 지표로 쓰지 않는가#

물리량 모델의 필드는 대부분의 값이 0 근처에 모여 있고 극단값은 몇 개뿐이다. 이런 분포에서 L2 계열 지표는 그 몇 개에 좌우되고, 분모가 되는 RMS 는 작아서 비율이 크게 나온다. 극단값이 데이터 아티팩트든 실제 물리든 결과는 같다.

지표와 눈으로 본 품질이 어긋나는 구체적 분해는 실측 결과 에 있다.

왜 `wmape%` 는 괜찮은가#

wmape% 의 분모는 샘플 전체 합 $\sum ∥ y ∥$ 이라 개별 격자점이 0 이어도 발산하지 않는다. 화소별 상대오차 $mean (∣ e ∣/∣ y ∣)$ 와는 다른 지표다. rel_l2% 와 같은 부류이며 L1 이라 극단값에 더 둔감하다.

채택하지 않은 비율 지표#

비율 지표는 무엇으로 나누느냐가 전부다. 아래 둘은 분모를 다른 데서 가져오는데, 이 프로젝트의 필드에서는 그 분모가 버티지 못한다.

지표	분모	쓰지 않는 이유
MAPE	격자점마다 그 점의 정답	정답이 0 근처인 격자점이 흔해서 그 점 하나가 값을 통째로 끌고 간다. 같은 L1 비율을 쓰되 분모를 샘플 전체 합으로 바꾼 것이 `wmape%` 이고, 그래서 그쪽만 쓴다
CV(RMSE)	정답의 공간평균	분모가 평균이라, 평균 자체가 뜻을 갖는 필드에서만 읽힌다. gauge pressure 처럼 평균이 0 근처인 필드에서는 분모가 무너지고, velocity 처럼 평균이 유동 조건을 따라 움직이는 필드에서는 같은 크기의 오차가 조건마다 다른 값으로 나온다

정규화가 꼭 필요하면 정답이 아니라 입구 조건에서 오는 고정 외부 scale 을 쓴다 (Metric — 해석 기준).